Calcolo Numerico e Laboratorio di Calcolo

Calcolo Numerico
Corso di laurea in Ingegneria Chimica e del Materiali
Prof. Michela Redivo Zaglia

Laboratorio 16 maggio 2003

ATTENZIONE: I programmi che calcolano le successioni devono utilizzare delle SUBROUTINE generali relative ai vari metodi (bisezione, Newton, punto fisso, ecc,).
Si deve utilizzare sempre la doppia precisione per variabili e costanti e l'uso di un formato in modo che i files di uscita contengano almeno 16 cifre decimali per ogni numero reale.

Esercizio 1

Si consideri la funzione (già utilizzata nel laboratorio dell'8 aprile 2003)

$\begin{displaymath}f(x)=x \, (x^2-2) .\end{displaymath}$

che ha le tre soluzioni che erano state indicate con $\alpha_1, \alpha_2$ ed $\alpha_3$ (in senso crescente).

Si applichi il metodo di Newton, a partire dal punto iniziale

=10.0, sino a raggiungere una tolleranza sulla differenza di due iterate successive di $10^{-8}$ .
Con tale punto iniziale il metodo di punto fisso converge. A quale radice?

Si scrivano su di un file esterno due colonne di dati: nella prima si inserisca il numero dell'iterazione (a partire da

), e nella seconda il valore ottenuto con il metodo di Newton.

Considerato il metodo del punto fisso del laboratorio dell'8 aprile 2003,

$\begin{displaymath}x = \frac{x \, (x^2 + 6)}{3 x^2 + 2} , \end{displaymath}$

con punto iniziale scelto in modo che converga alla stessa radice del metodo di Newton, ed il metodo di bisezione relativo all'intervallo che contiene la stessa soluzione, si produca una figura riassuntiva che abbia in ascisse l'indice dell'iterata e in ordinata i valori assunti dalla successione delle iterate per i tre metodi considerati.

Si rappresentino su di un'altra unica figura anche le tre curve (relative a Bisezione, Newton e punto fisso) con ordinate pari al $-\log_{10} \varepsilon_r$ e sulle ascisse l'indice delle iterate delle successioni.
Nel programma che calcola il $-\log_{10} \varepsilon_r$ , si controlli che l'errore assoluto di ogni iterata rispetto alla soluzione esatta sia non nullo, per evitare divisioni per lo zero.

Si applichino gli algoritmi di stima del capitolo 3, sezione 3.15.2, per ritrovare numericamente l'ordine di convergenza di ognuno dei 3 metodi considerati.

Esercizio 2

Si calcolino con il metodo di Newton le soluzioni della seguente equazione non lineare
$\begin{displaymath}f(x)=(x-1) \, \log x =0\end{displaymath}$

Soluzione: Ha un unico zero $\alpha=1$ di molteplicità 2 (attenzione che si ha $f'(\alpha)=0$ ). Con il metodo di Newton, dopo circa iterazioni si ottiene $x_{40}=0.99999999999348$ con una tolleranza di $10^{-11}$ .
Poiché la radice è doppia, si calcoli la soluzione con tutti i metodi descritti nella sezione 3.11.3.
Soluzione di Newton per radici multiple: Posto ${\tt toll}=10^{-11}$ , con il metodo di Newton per radici multiple, dopo iterazioni si ottiene .
Si costruisca la successione prodotta dal Delta 2 di Aitken a partire dalla successione prodotta dal metodo di Newton normale (che converge linearmente).
Si costruisca una figura che riporta sulle ascisse il numero di iterazioni e sulle ordinate il valore delle iterate, e si rappresentino su di essa le curve relative a Newton, Newton per radici multiple, Halley e Delta 2 di Aitken.

Esercizio 3

Si calcolino i punti fissi della seguente equazione

$\begin{displaymath}x= \frac{2x^3+4x^2+10}{3x^2+8x} \end{displaymath}$

Soluzione: Ha un unico punto fisso $\alpha$ , compreso nell'intervallo . Posto ${\tt toll}=10^{-11}$ , dopo iterazioni si ottiene .