Calcolo Numerico Raccolta Approssimazione

Calcolo Numerico

Prof. Michela Redivo Zaglia

Raccolta di esercizi sull'APPROSSIMAZIONE

Esercizio 1

Si scriva una procedura per implementare il calcolo del polinomio interpolatore con la formula di Lagrange (sezione 5.5.1 del libro di testo). Si scriva poi un programma di utilizzo di tale procedura e lo si provi con la funzione $f(x)= \sqrt{x}$ , scegliendo nodi $x_0,\ldots,x_{10}$ equispaziati nell'intervallo e valutando il polinomio interpolatore $P_{10}$ in punti equispaziati $x_0^*,\ldots,x_{20}^*$ dello stesso intervallo. Si prenda (in entrambi i casi) come punto iniziale l'estremo sinistro dell'inter vallo e come punto finale l'estremo destro dell'intervallo. Si disegni poi sullo stesso grafico, nell'intervallo , la spezzata congiungente i punti dati e quella dei punti interpolati determinati dalla formula di Lagrange.

Soluzione: I punti $x_i, i=0,\ldots,10$ sono calcolati come $x_i=x_0+i \cdot h$ , con ed e per essi si valuti $f(x_i)=\sqrt{x_i}=y_i$ . I punti $x_j^*, j=0,\ldots,20$ sono calcolati come $x_j^*=x_0^*+j \cdot h^*$ , con ed . L'algoritmo fornisce i valori . Nell'intervallo assegnato le due spezzate praticamente coincidono.

Esercizio 2

Esercizio 3

Si risolva l'esercizio 5.5 (pag.191 del testo).
I grafici devono essere prodotti con il software GNUPLOT.
I dati tabulati (memorizzati su di un file come coppie di valori) dovranno essere rappresentati con il simbolo di default del software, mentre il polinomio ai minimi quadrati dovrà essere fornito in modo analitico, utilizzando come suoi coefficienti delle approssimazioni delle soluzioni trovate .

Esercizio 4

Si consideri la funzione

$\begin{displaymath}f(x) = e^{x}/x^5,\end{displaymath}$

nell'intervallo .
Si scelgano nodi equispaziati di tale intervallo $x_i, i=0,\ldots, 5$ (con e $x_{5}=15$ ) e si calcolino i corrispondenti valori $y_i=f(x_i), i=0,\ldots, 5$ . Si scrivano su di un file di nome nodi.dat le coppie di valori $x_i,y_i, i=0,\ldots,5$ così determinate.
Si scelgano poi nodi equispaziati di tale intervallo $x_i^*, i=0,\ldots, 50$ (con e $x_{50}^*=15$ ) e si calcolino per interpolazione, con l'algoritmo di Neville-Aitken ed utilizzando come nodi i valori $x_i,y_i, i=0,\ldots,5$ , i valori approssimati $y_i^*=P_{5}(x^*_i), i = 0, \ldots, 50$ . Si scrivano su di un file di nome interp.dat le coppie di valori $x_i^*,y_i^*, i=0,\ldots,50$ così determinate.
Si produca un grafico dis.ps che rappresenti, nell'intervallo la curva ottenuta congiungendo i punti $x_i^*,y_i^*, i=0,\ldots,50$ e la curva analitica .

Soluzioni:

nodi.dat, interp.dat

dis.ps

Esercizio 5

Siano date le seguenti 9 coppie di valori (), ed i pesi $w_i, i=0,\ldots, 8$ tutti uguali ad 1, che devono essere letti da un file d i nome coppie.dat

$\begin{displaymath} \begin{array}{c\vert\vert r\vert r\vert r\vert r\vert r\vert... ....0308& 1.068& 1.118 & 1.1792 & 1.25& 1.3288& 1.4142 \end{array}\end{displaymath}$

Utilizzando tali valori, si vuole calcolare la retta di regressione .
Si costruisca il corrispondente sistema delle equazioni normali $A^TA {\mathbf{a}}= A^T{\mathbf{b}}$ e si scrivano, sul file di nome sistema.dat, la matrice , il vettore ${\mathbf{b}}$ , la matrice ed il vettore $A^T{\mathbf{b}}$ (massimo 4 cifre decimali dopo il punto di radice).
Si risolva tale sistema (con un qualsiasi metodo diretto o con la formula dirett a) e si determini la soluzione ${\mathbf{a}}=(a_0,a_1)^T$ , scrivendola poi nel file di nome retta.dat (massimo 4 cifre decimali dopo il punto di radice).
Si rappresentino graficamente i risultati ottenuti producendo la figura regre.ps. I valori tabulati dovranno essere rappresentati con il simbolo di default di GNUPLOT, mentre la retta di regressione dovrà essere fornita al software in modo analitico, utilizzando come coefficienti i valori ed precedentemente trovate.

Soluzioni:

coppie.dat, sistema.dat

retta.dat

e regre.ps

Esercizio 6

Si consideri, nell'intervallo , la funzione

$\begin{displaymath}f(x) = \sqrt{1+x^2}-1,\end{displaymath}$
Si scelgano nodi equispaziati di tale intervallo $x_i, i=0,\ldots, 10$ (con e $x_{10}=5$ ) e si calcolino i corrispondenti valori $y_i=f(x_i), i=0,\ldots, 10$ . Si scrivano su di un file di nome nodi.dat le coppie di valori $x_i,y_i, i=0,\ldots,10$ così determinate.
Si scelgano poi nodi equispaziati di tale intervallo $x_i^*, i=0,\ldots, 50$ (con e $x_{50}^*=5$ ) e si calcolino per interpolazione, con l'algoritmo di Neville-Aitken ed utilizzando come nodi i valori $x_i,y_i, i=0,\ldots,10$ , i valori approssimati $y_i^*=P_{10}(x^*_i), i = 0, \ldots, 50$ . Si scrivano su di un file di nome polint.dat le coppie di valori $x_i^*,y_i^*, i=0,\ldots,50$ così determinate.
Si produca un grafico interp.ps che rappresenti, nell'intervallo la curva ottenuta congiungendo i punti $x_i^*,y_i^*, i=0,\ldots,50$ e la curva analitica .

Soluzioni:

nodi.dat, polint.dat

interp.ps